试题

题目：
青果学院如图，在△ACH中，△ACB、△BDE和△DGF都是等边三角形，且点E、G在△ACH边CH上，设等边△ABC、△BDE、△DGF的面积分别为S1、S2、S3，若S1=9，S3=1，则S2=（　　）



答案
A
解：设△ABC、△BDE、△DGF的边长分别是a、b、c，如右图，
∵△ABC、△BDE是等边三角形，
∴∠CBA=∠EBD=60°，
∴∠CBE=60°，
同理∠EDG=60°，
∴∠CBE=∠EDG，
∵△BDE、△DGF是等边三角形，
∴∠EBD=∠GDF=60°，
∴BE∥DG，
∴∠CEB=∠EDG，
∴△CBE∽△EDG，
∴a：b=b：c，
∴b2=ac，
∵S1：S3=（
a
c
）2=9：1，
∴a：c=3：1，
∵S1：S2=（
a
b
）2=
a2
b2
=
a2
ac
=
a
c
=3：1．
∴S2=
1
3
S1=3．
故选A．
考点梳理
相似三角形的判定与性质；等边三角形的性质．
先设△ABC、△BDE、△DGF的边长分别是a、b、c，由于△ABC、△BDE是等边三角形，易知∠ABC=60°，∠EBD=60°，结合平角定义可求∠CBE=60°，同理可求∠EDG=60°，那么∠CBE=∠EDG，由于△BDE、△DGF是等边三角形，那么∠EBD=∠GDF=60°，从而有BE∥DG，于是∠CEB=∠EDG，利用两角对应相等的两个三角形相似可得△CBE∽△EDG，可得比例关系：a：b=b：c，即b2=ac，再根据S1：S3=（
a
c
）2=9：1，即可求得a：c，又由S1：S2=（
a
b
）2=
a2
b2
=
a2
ac
=
a
c
，即可求得答案．
此题考查了相似三角形的判定与性质以及等边三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
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