试题

题目：
青果学院如图，在△ABC中，AC=4，BC=3，P、Q分别是AC、BC边上的点，连结PQ，PQ∥AB．设CP的长为x．
（1）求CQ的长（用含x的代数式表示）
（2）当△PQC的面积与四边形PABQ的面积相等时，求CP的长．
答案
解：（1）∵PQ∥AB，
∴△PQC∽△ABC，
∴
CQ
BC
=
CP
AC
，
即
CQ
3
=
x
4
，
∴CQ=
3
4
x；

（2）∵S△PQC=S四边形PABQ，
∴S△PQC：S△ABC=1：2，
∵△PQC∽△ABC，
∴
S △PQC
S△ABC
=(
CP
AC
)2=1：2，
∴CP2=
1
2
·AC2=
1
2
×42=8．
∵CP＞0，
∴CP=2
2
．
解：（1）∵PQ∥AB，
∴△PQC∽△ABC，
∴
CQ
BC
=
CP
AC
，
即
CQ
3
=
x
4
，
∴CQ=
3
4
x；

（2）∵S△PQC=S四边形PABQ，
∴S△PQC：S△ABC=1：2，
∵△PQC∽△ABC，
∴
S △PQC
S△ABC
=(
CP
AC
)2=1：2，
∴CP2=
1
2
·AC2=
1
2
×42=8．
∵CP＞0，
∴CP=2
2
．
考点梳理
相似三角形的判定与性质．
（1）由PQ∥AB，可判定△PQC∽△ABC，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得CQ的长；
（2）由相似三角形的面积比等于相似比的平方，可得
S △PQC
S△ABC
=(
CP
AC
)2=1：2，继而可求得答案．
此题考查了相似三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
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