试题

题目：
青果学院如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在CD的延长线上，且CD=2DE，连接BE交AC于点F．
（1）求证：△CEF∽△ABF．
（2）若DE=2，AF=2，求AC．
答案
青果学院（1）证明：如图，∵在·ABCD中，AB∥CD．且点E在CD的延长线上，
∴AD∥CE，
∴∠1=∠F．
又∵∠2=∠3，
∴△CEF∽△ABF；

（2）解：如图，∵CD=2DE，DE=2，
∴CD=4，CE=6．
∴在·ABCD中，AB=CD=4．
又由（1）知：△CEF∽△ABF，
∴
FC
FA
=
CE
AB
，即
FC
2
=
6
4
，
解得FC=3，
则AC=AF+FC=2+3=5，即线段AC的长度是5．
青果学院（1）证明：如图，∵在·ABCD中，AB∥CD．且点E在CD的延长线上，
∴AD∥CE，
∴∠1=∠F．
又∵∠2=∠3，
∴△CEF∽△ABF；

（2）解：如图，∵CD=2DE，DE=2，
∴CD=4，CE=6．
∴在·ABCD中，AB=CD=4．
又由（1）知：△CEF∽△ABF，
∴
FC
FA
=
CE
AB
，即
FC
2
=
6
4
，
解得FC=3，
则AC=AF+FC=2+3=5，即线段AC的长度是5．
考点梳理
相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．
（1）由平行四边形的性质可以求得∠1=∠F，又由对顶角的定义得到∠2=∠3，所以根据“两角法”可以证得结论；
（2）由平行四边形的性质得到AB=CD，再结合图中相关线段间的和差关系和（1）中相似三角形的对应边成比例来求线段AC的长度．
本题考查了平行四边形的性质和相似三角形的判定与性质．此题利用了“平行四边形的对边平行且相等”的性质．
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