试题

如图，已知∠ABC=60°，以线段AB为底边，在线段AB的右侧作底角为α的等腰△ABE，点P为射线BC上任意一点（点P与点B不重合），以AP为底边在线段AP的右侧作底角为α的等腰△APQ，连接QE并延长交BC于点F．
（1）如图1，当α=50°时，∠EBF=°，猜想∠QFC=°；
（2）当α=45°时，猜想∠QFC的度数，并证明你的结论；
（3）如图2，当α为任意角（0°＜α＜60°）时，猜想∠QFC的度数是多少？（不需说明理由）

解：（1）∠EBF=∠ABC-α=60°-50°=10°，
猜想：∠QFC=50°；

（2）猜想∠QFC=45°．
证明：∵等腰△ABE和等腰△APQ的底角都是α，
∴△ABE∽△APQ，
∴

AQ

AE

=

AP

AB

，
∵∠QAP=∠EAB，
∴∠QAP+∠PAE=∠EAB+∠PAE，
即∠QAE=∠PAB，
∴△AQE∽△APB，
∴∠AEQ=∠ABC=60°，
∵∠AEB=180°-2×45°=90°，
∴∠BEF=180°-90°-60°=30°，
∵∠EBF=∠ABC-∠ABE=60°-45°=15°，
∴∠QFC=∠EBF+∠BEF=15°+30°=45°；

（3）根据（2）∠AEQ=∠ABC=60°，
在等腰△ABE中，∠AEB=180°-2α，
∴∠BEF=180°-（180°-2α）-60°=2α-60°，
又∵∠EBF=∠ABC-∠ABE=60°-α，
∴∠QFC=∠BEF+∠EBF=2α-60°+60°-α=α．