试题

题目：
青果学院已知：如图，AD是Rt△ABC的角平分线，AD的垂直平分线EF交CB的延长线于点F，求证：FD2=FB·FC．
答案
青果学院证明：连接AF，
∵EF是AD的垂直平分线，
∴AF=DF，
∴∠FAE=∠FDE，
∵∠FAE=∠FAB+∠BAD，∠FDE=∠C+∠CAD，且∠BAD=∠CAD，
∴∠FAB=∠C，
∵∠AFB是公共角，
∴△AFB∽△CFA，
∴
AF
FC
=
FB
AF
，
∴FA2=FB·FC，
即FD2=FB·FC．
青果学院证明：连接AF，
∵EF是AD的垂直平分线，
∴AF=DF，
∴∠FAE=∠FDE，
∵∠FAE=∠FAB+∠BAD，∠FDE=∠C+∠CAD，且∠BAD=∠CAD，
∴∠FAB=∠C，
∵∠AFB是公共角，
∴△AFB∽△CFA，
∴
AF
FC
=
FB
AF
，
∴FA2=FB·FC，
即FD2=FB·FC．
考点梳理
相似三角形的判定与性质．
首先连接AF，可证得△AFC∽△BFA，然后由相似三角形的对应边成比例证得FA2=FB·FC，则可得FD2=FB·FC．
此题考查了相似三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质以及角平分线的定义．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
证明题．
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