试题

题目：
青果学院如图，边长为2
3
的等边三角形ABC内接于⊙0，点D在弧AC上运动，但与A、C两点不重合，连结AD并延长交BC的延长线于P．
（1）求⊙0的半径；
（2）设AD为x，AP为y，求出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围．
答案
解：青果学院解：（1）过O作OE⊥AB于E，连接OA．
在Rt△AEO中，∠EAO=30°
AE=
AB
2

∴
AE
OA
=cos30°，
∴OA=2

（2）连接CD，则∠ABC+∠ADC=180°
又∠ACB+∠ACP=180°，∠ABC=∠ACB=60°
∴∠ADC=∠ACP=120°
又∵∠CAD=∠PAC
∴△ADC∽△ACP
∴
AD
AC
AC
AP

∴AC2=AD·AP
∴y=
(2
3
)2
x
=
12
x
（0＜x＜2
3
）．
解：青果学院解：（1）过O作OE⊥AB于E，连接OA．
在Rt△AEO中，∠EAO=30°
AE=
AB
2

∴
AE
OA
=cos30°，
∴OA=2

（2）连接CD，则∠ABC+∠ADC=180°
又∠ACB+∠ACP=180°，∠ABC=∠ACB=60°
∴∠ADC=∠ACP=120°
又∵∠CAD=∠PAC
∴△ADC∽△ACP
∴
AD
AC
AC
AP

∴AC2=AD·AP
∴y=
(2
3
)2
x
=
12
x
（0＜x＜2
3
）．
考点梳理
相似三角形的判定与性质；等边三角形的性质；垂径定理．
（1）过O作OE⊥AB于E，连接OA，根据等边三角形的性质和垂径定理可以E是AB的中点∠EAO=30°这样解直角三角形就可以求出半径了；
（2）连接CD，利用圆内接四边形的性质可以得到∠ADC=∠ACP=120°，还有一个公共角，可以证明△ADC∽△ACP，然后利用相似三角形的性质就可以求出函数的关系式．
此题综合性比较强，把一元二次方程，等边三角形，相似三角形，求函数关系式等知识，正确作出辅助线是关键．
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