试题

题目：
青果学院已知，如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，BE交AD于O．
（1）求证：△ADC∽△BEC；
（2）求证：△CDE∽△CAB；（3）若∠C=60°，求DE：AB的值．
答案
青果学院解：（1）∵AD⊥BC，BE⊥AC，
∴∠ADC=∠BEC=90°，
∵∠C=∠C，
∴△ADC∽△BEC．
（2）∵△ADC∽△BEC，
∴
AC
BC
=
DC
EC
，
∴
AC
DC
=
BC
EC
，
∵∠C=∠C，
∴△CDE∽△CAB．
（3）∵△CDE∽△CAB，
∴
DC
AC
=
DE
AB
．
∵∠C=60°，∠ADC=90°，
∴∠DAC=30°，
∴
DC
AC
=
1
2
，
∴
DE
AB
=
1
2
即DE：AB=
1
2

青果学院解：（1）∵AD⊥BC，BE⊥AC，
∴∠ADC=∠BEC=90°，
∵∠C=∠C，
∴△ADC∽△BEC．
（2）∵△ADC∽△BEC，
∴
AC
BC
=
DC
EC
，
∴
AC
DC
=
BC
EC
，
∵∠C=∠C，
∴△CDE∽△CAB．
（3）∵△CDE∽△CAB，
∴
DC
AC
=
DE
AB
．
∵∠C=60°，∠ADC=90°，
∴∠DAC=30°，
∴
DC
AC
=
1
2
，
∴
DE
AB
=
1
2
即DE：AB=
1
2
考点梳理
相似三角形的判定与性质；垂线；含30度角的直角三角形．
（1）由条件AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，可以得出∠ADC=∠BEC=90°．从而可以得出△ADC∽△BEC；
（2）由（1）的结论可以得出
AC
BC
=
DC
EC
，进而得出
AC
DC
=
BC
EC
及∠C=∠C就可以得出△CDE∽△CAB；
（3）由（2）的结论可以得出
DC
AC
=
DE
AB
，再由∠C=60°及直角三角形的性质就可以求出
DC
AC
的值，从而求出DE：AB的值．
本题考查了垂线的性质，相似三角形的判定与性质，含30°角的直角三角形的性质的运用．
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