试题

题目：
青果学院如图，△ABC中，P是边AB上一点，AD⊥CP，BE⊥CP，垂足分别为D、E，AC=3，BC=3
5
，BE=5，DC=
5
．求证：
（1）Rt△ACD∽Rt△CBE；
（2）AC⊥BC．
答案
证明：（1）∵AD⊥CP，BE⊥CP，
∴∠E=∠ADC=90°，
∵AC=3，BC=3
5
，BE=5，DC=
5
．
∴
AC
CB
=
DC
BE
=
5
5
，
∴Rt△ACD∽Rt△CBE；
（2）∵Rt△ACD∽Rt△CBE，
∴∠ACD=∠CBE，
∵∠CBE+∠ECD=90°，
∴∠ACD+∠ECB=90°，
即AC⊥BC．
证明：（1）∵AD⊥CP，BE⊥CP，
∴∠E=∠ADC=90°，
∵AC=3，BC=3
5
，BE=5，DC=
5
．
∴
AC
CB
=
DC
BE
=
5
5
，
∴Rt△ACD∽Rt△CBE；
（2）∵Rt△ACD∽Rt△CBE，
∴∠ACD=∠CBE，
∵∠CBE+∠ECD=90°，
∴∠ACD+∠ECB=90°，
即AC⊥BC．
考点梳理
相似三角形的判定与性质．
（1）根据两边的比值相等以及其夹角相等的两个三角形相似证明即可；
（2）利用相似三角形的性质可得：∠ACD=∠CBE，因为∠CBE+∠ECD=90°所以∠ACD+∠ECB=90°，即AC⊥BC．
本题考查了相似三角形的判定和性质以及垂直的判定，题目比较简单，是中考常见题型．
证明题．
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