试题

探索与研究：
中国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，而且很早就尝试对勾股定理作理论的证明．最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽．赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合的方法，给出了勾股定理的详细证明．在这幅“勾股圆方图”中，以弦为边长得到正方形ABDE是由4个全等的直角三角形再加上中间的那个小正方形组成的．每个直角三角形的面积为ab/2；中间的小正方形边长为b-a，则面积为（b-a）²．于是便可得如下的式子：
S_{正方形EFGH}=c²=（a-b）²+4×

1

2

ab
所以a²+b²=c²
（1）你能用下面的图形也来验证一下勾股定理吗？试一试！
（2）你自己还能设计一种方法来验证勾股定理吗？

解：（1）∵S_梯形ABCD=

1

2

（a+b）（a+b）=

1

2

（a²+b²）+ab，S_梯形ABCD=2×

1

2

ab+

1

2

c²
∴

1

2

（a²+b²）+ab=2×

1

2

ab+

1

2

c²∴a²+b²=c²

（2）在Rt△ABC中，设直角边AC、BC的长度分别为a、b，斜边AB的长为c，过点C作CD⊥AB，垂足是D．

在△ADC和△ACB中，
∵∠ADC=∠ACB=90°，
∠CAD=∠BAC，
∴△ADC∽△ACB，
AD：AC=AC：AB，
即AC²=AD·AB
同理可证，△CDB∽△ACB，从而有BC²=BD·AB．
∴AC²+BC²=（AD+DB）·AB=AB²，即a²+b²=c²．
解：（1）∵S_梯形ABCD=

1

2

（a+b）（a+b）=

1

2

（a²+b²）+ab，S_梯形ABCD=2×

1

2

ab+

1

2

c²
∴

1

2

（a²+b²）+ab=2×

1

2

ab+

1

2

c²∴a²+b²=c²

（2）在Rt△ABC中，设直角边AC、BC的长度分别为a、b，斜边AB的长为c，过点C作CD⊥AB，垂足是D．

在△ADC和△ACB中，
∵∠ADC=∠ACB=90°，
∠CAD=∠BAC，
∴△ADC∽△ACB，
AD：AC=AC：AB，
即AC²=AD·AB
同理可证，△CDB∽△ACB，从而有BC²=BD·AB．
∴AC²+BC²=（AD+DB）·AB=AB²，即a²+b²=c²．