试题

如图，P是正方形ABCD边BC上的一点，且BP=3PC，Q是CD中点．
（1）求证：△ADQ∽△QCP．
（2）试问：AQ与PQ有什么关系（位置与数量）？

（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD，∠C=∠D=90°；
又∵Q是CD中点，
∴CQ=DQ=

1

2

AD；
∵BP=3PC，
∴CP=

1

4

AD，
∴

CQ

AD

=

CP

DQ

=

1

2

，
又∵∠C=∠D=90°，
∴△ADQ∽△QCP；

（2）AQ=2PQ，且AQ⊥PQ．理由如下：
由（1）知，△ADQ∽△QCP，

CQ

AD

=

CP

DQ

=

1

2

，
则

AQ

QP

=

CQ

AD

=

CP

DQ

=

1

2

，
AQ=2PQ；
∵△ADQ∽△QCP，
∴∠AQD=∠QPC，∠DAQ=∠PQC，
∴∠PQC+∠DQA=DAQ+AQD=90°，
∴AQ⊥QP．
（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD，∠C=∠D=90°；
又∵Q是CD中点，
∴CQ=DQ=

1

2

AD；
∵BP=3PC，
∴CP=

1

4

AD，
∴

CQ

AD

=

CP

DQ

=

1

2

，
又∵∠C=∠D=90°，
∴△ADQ∽△QCP；

（2）AQ=2PQ，且AQ⊥PQ．理由如下：
由（1）知，△ADQ∽△QCP，

CQ

AD

=

CP

DQ

=

1

2

，
则

AQ

QP

=

CQ

AD

=

CP

DQ

=

1

2

，
AQ=2PQ；
∵△ADQ∽△QCP，
∴∠AQD=∠QPC，∠DAQ=∠PQC，
∴∠PQC+∠DQA=DAQ+AQD=90°，
∴AQ⊥QP．