试题

如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，且BM=

1

3

BC．△AMN为等腰直角三角形，斜边AN与CD交于点F，延长AN与BC的延长线交于点E，连接MF、CN，作NG⊥BE，垂足为G，下列结论：①△ABM≌△MGN；②△CNG为等腰直角三角形；③MN=EN；④S_△ABM=S_△CEN；⑤BM+DF=MF．其中正确的个数为（　　）
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个

C
解：①∵△AMN为等腰三角形，∴AM=MN，∠AMN=90°，
∴∠AMB=90°-∠NMG=∠MNG，又∠B=∠NGM=90°，
∴△ABM≌△MGN，正确；
②由△ABM≌△MGN，得NG=BM，而CG=MG-MC=AB-MC=BC-MC=BM，∴NG=CG，
又∠CNG=90°，∴△CNG为等腰直角三角形，正确；
③设AB=BC=3x，则MG=MC+CG=BC=3x，CG=NG=x，
由NG∥AB得△EGN∽△EBA，
∴

EG

EB

=

NG

AB

=

1

3

，EG=

1

2

BG=2x，MG≠EG，故MN≠EN，错误；
④由③可知AB=CE=3x，又BM=NG，
∴S_△ABM=S_△CEN，正确；
⑤如图，延长CD到H，使DH=BM，可证△ABM≌△ADH，
∴AM=AH，∠BAM=∠DAH，
∠HAF=∠DAH+∠DAF=∠BAM+∠DAF=90°-∠MAF=90°-45°=45°，
又AF=AF，
∴△AHF≌△AMF，
∴HF=MF，即BM+DF=MF，正确．
正确的有四个．
故选C．