试题

如图，直角梯形ABCD中，∠A=90°，AD∥BC，AB=AD，DE⊥BC于E，点F为AB上一点，且AF=EC，点M为FC的中点，连接FD、BD、ME，设FC与DE相交于点N，下列结论：
①∠FDB=∠FCB；②△DFN∽△DBC；③FB=

2

ME；④ME垂直平分BD，
其中正确结论的个数是（　　）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

D
解：∵直角梯形ABCD中，∠A=90°，AD∥BC，DE⊥BC，
∴∠ABC=∠BED=90°，
∴四边形ABED是矩形，
∵AB=AD，
∴四边形ABED是正方形，
∴AD=DE，
在△ADF和△EDC中，
∵

AD=ED ∠A=∠DEC=90° AF=EC

，
∴△ADF≌△EDC（SAS），
∴∠ADF=∠EDC，
∵∠ADF+∠FDE=90°，
∴∠FDC=∠FDE+∠EDC=90°，
∴∠FDC+∠FBC=180°，
∴F，B，C，D四点共圆，
∴∠FDB=∠FCB，
故①正确；
∴∠DFN=∠DBC，
∵∠FDE+∠EDC=90°，∠EDC+∠ECD=90°，
∴∠FDE=∠ECD，
即∠FDN=∠BCD，
∴△DFN∽△DBC，
故②正确；
连接BM，DM，
∵∠FBC=∠FDC=90°，点M为FC的中点，
∴BM=DM=

1

2

BC，
∴M在BD的垂直平分线上，
∵ED=BE，
∴E在BD的垂直平分线上，
∴ME垂直平分BD；
故④正确；
过点M作MH⊥BC于M，
则MH∥AB，
∵M在BD的垂直平分线上，
∴MH是△CBF的中位线，
∴FB=2MH，
∵ME垂直平分BD，
∴∠MEH=

1

2

∠BED=45°，
∴MH=ME·sin∠MEH=ME·sin45°=

2

2

ME，
∴FB=

2

ME．
故③正确．
故选D．