试题

如图，三内角皆小于120°的三角形，分别以AB，BC，CA为边，向三角形外侧做正三角形ABD，ACE，BCF，然后连接AF，BE，CD，这三线交于一点O，那么下列结论中
①△ADC≌△ABE； ②△AMD∽△OMB； ③cos∠COE=

1

2

；④∠AOB=∠AOC=∠BOC=120°
正确的个数是（　　）
A．1
B．2
C．3
D．4

D
解：①∵△ADB，△AEC是等边三角形，
∴AD=AB，AE=AC，∠DAB=∠EAC=60°，
∵∠DAC=∠DAB+∠BAC，∠EAB=∠EAC+∠BAC，
∴∠DAC=∠BAE，
在△DAC和△BAE中，

AD=AB ∠DAC=∠BAE AC=AE

，
∴△ADC≌△ABE，故①正确；
②∵△ADC≌△ABE，
∴∠ADC=∠ABE，
∵∠AMD=∠OMB，
∴△AMD∽△OMB，故②正确；
③∵△AMD∽△OMB，
∴∠DAM=∠BOM=60°，
∴∠COE=∠BOM=60°，
∴cos∠COE=

1

2

，故③正确；
④由③可知：∠COE=∠BOM=60°，
∴∠AOB=∠AOC=∠BOC=120°，故④正确；
故选D．