试题

题目：
青果学院如图，在△PAB中，∠APB=120°，M，N是AB上两点，且△PMN是等边三角形，求证：BM·PA=PN·BP．
答案
证明：∵△PMN为等边三角形，
∴∠PMN=∠PNM=∠MPN=60°，
∴∠BMP=∠PNA=120°．
∵∠BPA=120°，
∴∠BPM+∠APN=60°．
在△BMP中，∠B+∠BPM=60°，
∴∠B=∠NPA，
∴△BMP∽△PNA，
∴
PA
BP
=
PN
BM
，
∴BM·PA=PN·BP．
证明：∵△PMN为等边三角形，
∴∠PMN=∠PNM=∠MPN=60°，
∴∠BMP=∠PNA=120°．
∵∠BPA=120°，
∴∠BPM+∠APN=60°．
在△BMP中，∠B+∠BPM=60°，
∴∠B=∠NPA，
∴△BMP∽△PNA，
∴
PA
BP
=
PN
BM
，
∴BM·PA=PN·BP．
考点梳理
相似三角形的判定与性质；等边三角形的性质．
根据所证的条件分析，本题需要证明△BMP∽△PNA求解；通过证明∠B=∠APN，∠BPM=∠A，即可得出△BMP和△PNA相似．解题时要注意选择适宜的判定定理．
本题考查了相似三角形的判定和性质，判定两三角形相似的方法有：
①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；
②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；
③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似；
④平行于三角形一边的直线截另两边或另两边的延长线所组成的三角形与原三角形相似．
证明题．
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