试题

题目：
青果学院如图，AD是∠BAC的角平分线，交△ABC的边BC于点D，BH⊥AD，CK⊥AD，垂足分别为H、K，你能说明AB·DK=AC·DH吗？
答案
证明：∵AD是∠BAC的角平分线，
∴∠CAK=∠BAH，
∵BH⊥AD，CK⊥AD，
∴∠H=∠AKC=90°，CK∥BH，
∴△ABH∽△ACK，△BHD∽△CKD，
∴
AB
AC
=
BH
CK
，
BH
CK
=
DH
KD
，
∴
AB
AC
=
DH
KD
，
∴AB·DK=AC·DH．
证明：∵AD是∠BAC的角平分线，
∴∠CAK=∠BAH，
∵BH⊥AD，CK⊥AD，
∴∠H=∠AKC=90°，CK∥BH，
∴△ABH∽△ACK，△BHD∽△CKD，
∴
AB
AC
=
BH
CK
，
BH
CK
=
DH
KD
，
∴
AB
AC
=
DH
KD
，
∴AB·DK=AC·DH．
考点梳理
相似三角形的判定与性质．
由题意，易证得△ABH∽△ACK，△BHD∽△CKD，根据相似三角形的对应边成比例，则有
AB
AC
=
BH
CK
，
BH
CK
=
DH
KD
，即可得
AB
AC
=
DH
KD
，即有AB·DK=AC·DH．
此题考查了相似三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
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