试题

题目：
青果学院如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AC，BD相交于点O，过O作BC的平行线分别交AB，CD于点E，F．
（1）求证：OE=OF；
（2）若AD=3，BC=4，求EF的长．
答案
（1）证明：∵AD∥BC，
∴△AOE∽△ABC，△DOF∽△DBC，
∴
OE
BC
=
AO
AC
，
OF
BC
=
DF
DC
，
又∵由AD∥BC得，△ACD∽△OCF，
∴
AO
AC
=
DF
DC
，
∴
OE
BC
=
OF
BC
，
∴OE=OF；

（2）解：∵AD∥BC，
∴△AOD∽△BOC，
∴
AO
OC
=
AD
BC
=
3
4
，
∴
AO
AC
=
3
3+4
=
3
7
，
∵BC=4，
∴
OE
4
=
AO
AC
=
3
7
，
解得OE=
12
7
，
∴EF=OE+OF=
12
7
+
12
7
=
24
7
．
（1）证明：∵AD∥BC，
∴△AOE∽△ABC，△DOF∽△DBC，
∴
OE
BC
=
AO
AC
，
OF
BC
=
DF
DC
，
又∵由AD∥BC得，△ACD∽△OCF，
∴
AO
AC
=
DF
DC
，
∴
OE
BC
=
OF
BC
，
∴OE=OF；

（2）解：∵AD∥BC，
∴△AOD∽△BOC，
∴
AO
OC
=
AD
BC
=
3
4
，
∴
AO
AC
=
3
3+4
=
3
7
，
∵BC=4，
∴
OE
4
=
AO
AC
=
3
7
，
解得OE=
12
7
，
∴EF=OE+OF=
12
7
+
12
7
=
24
7
．
考点梳理
相似三角形的判定与性质；梯形．
（1）由△AOE和△ABC相似可得
OE
BC
=
AO
AC
，由△DOF和△DBC相似可得
OF
BC
=
DF
DC
，由△ACD和△OCF相似可得
AO
AC
=
DF
DC
，从而得到
OE
BC
=
OF
BC
，即可得证；
（2）根据△AOD和△BOC相似求出
AO
OC
，再求出
AO
AC
，然后求出OE，根据EF=OE+OF即可．
本题考查了相似三角形的判定与性质，根据平行得到三角形相似是解题的关键，也是本题考查的重点．
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