试题

如图1，在四边形ABCD中，∠A=∠BCD=90度．
（1）过C作对角线BD的垂线，分别交BD，AD于点E，F，求证：CD²=DF·DA；
（2）如图2，若过BD上另一点E作BD的垂线，分别交BA，BC的延长线于点F，G，又有什么结论呢？你会证明吗？

证明：（1）∵∠DEF=∠DAB=90°，∠BDA=∠FDE，
∴△DEF∽△DAB，
∴DE：DA=DF：DB，
∴DE·DB=DA·DF，
∵∠DCB=∠DEC=90°，∠BDC=∠CDE，
∴△DEC∽△DCB，
∴

DC

DE

=

DB

DC

，
∴DC²=DE·DB，
又∵DE·DB=DA·DF，
∴CD²=DF·DA．

（2）∵∠DEF=∠DAB=90°，∠ABD=∠EBF，
∴△DAB∽△FEB，
∴DB：FB=AB：EB，
∴BE·BD=AB·BF．
同理△DBC∽△GBE．
∴DB：GB=BC：BE．
∴BE·BD=BC·BG．
∴AB·BF=BC·BG．
证明：（1）∵∠DEF=∠DAB=90°，∠BDA=∠FDE，
∴△DEF∽△DAB，
∴DE：DA=DF：DB，
∴DE·DB=DA·DF，
∵∠DCB=∠DEC=90°，∠BDC=∠CDE，
∴△DEC∽△DCB，
∴

DC

DE

=

DB

DC

，
∴DC²=DE·DB，
又∵DE·DB=DA·DF，
∴CD²=DF·DA．

（2）∵∠DEF=∠DAB=90°，∠ABD=∠EBF，
∴△DAB∽△FEB，
∴DB：FB=AB：EB，
∴BE·BD=AB·BF．
同理△DBC∽△GBE．
∴DB：GB=BC：BE．
∴BE·BD=BC·BG．
∴AB·BF=BC·BG．