试题

题目：
青果学院如图，在△ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，PQ∥AB，点P在AC上（与点A、C不重合），Q点在BC上．
（1）当△PQC的面积与四边形PABQ的面积相等时，CP=
2
2
2
2
；
（2）当△PQC的周长与四边形PABQ的周长相等时，CP=
24
7
24
7
．
答案
2
2

24
7

解：（1）∵S△PQC=S四边形PABQ，且S△PQC+S四边形PABQ=S△ABC，
∴S△PQC：S△ABC=1：2．
∵PQ∥AB，
∴△PQC∽△ABC．
∴S△PQC：S△ABC=（
PC
AC
）2=1：2．
∴PC2=42×
1
2
．
∴PC=2
2
．

（2）∵△PQC的周长与四边形PABQ的周长相等，
∴PC+CQ+PQ=PA+AB+QB+PQ，
∴PC+CQ=PA+AB+QB，
又∵PC+CQ+PA+AB+QB=AC+BC+AB，
∴PC+CQ=PA+AB+QB=
1
2
（AB+BC+AC）=6，
∴CQ=6-CP，
∵PQ∥AB，
∴△PQC∽△ABC．
∴
CP
CA
=
CQ
CB
，
CP
4
=
6-CP
3
．
解得CP=
24
7
．
考点梳理
相似三角形的判定与性质．
（1）根据相似三角形的性质求出S△PQC：S△ABC=1：2，即两个三角形的相似比是1：2，进而求出CP的长；
（2）根据△PQC的周长与四边形PABQ的周长相等时，PC+CQ=PA+AB+QB=
1
2
（AB+BC+AC）=6，然后再根据相似三角形的性质求出PC的值．
本题考查相似三角形的性质．利用相似三角形的性质时，要注意相似比的顺序，同时也不能忽视面积比与相似比的关系．
几何图形问题．
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