试题

题目：
如图Rt△ABC中有两种作内接正方形的方法．图（1）作的内接正方形面积为441，（2）中作的内接正方形的面积为440，则AC+BC的值为（　　）
青果学院



答案
D
青果学院解：如图，设BC=a，AC=b，AB=c．
在图（1）中，∵四边形EFCD是正方形，
∴EF∥BC，
∴Rt△AFE∽Rt△ACB，
∴EF：BC=AF：AC，21：a=（b-21）：b，
∴a+b=
1
21
ab．①
∵S△AEF：S△ABC=（EF：BC）2，即S△AEF：
1
2
ab=441：a2，
∴S△AEF=
441b
2a
，
同理，S△BDE=
441a
2b
．
在图（2）中，∵四边形MNPQ是正方形，
∴MQ∥AB，
∴RT△QCM∽Rt△ACB，
∴S△QCM：S△ACB=（QM：AB）2，即S△QCM：
1
2
ab=440：c2，
∴S△QCM=
220ab
c2
，
同理，易求S△APQ=
440b
2a
，S△BMN=
440a
2b
，
∵S△AEF+S△BDE+S正方形CDEF=S△APQ+S△CMQ+S△BMN+S正方形MNPQ=S△ABC，
∴
441b
2a
+
441a
2b
+441=
440b
2a
+
220ab
c2
+
440a
2b
+440，
∴
b
2a
+
a
2b
+1=
220ab
c2
，
∴（a+b）2=
440a2b2
c2
，
将①代入上式，整理得c2=440×441．
∵（a+b）2=a2+b2+2ab=440×441+42（a+b），
∴（a+b）2-42（a+b）-440×441=0，
解得：a+b=462（另一个解-420舍去），
∴AC+BC=462．
故选D．
考点梳理
相似三角形的判定与性质；正方形的性质．
设BC=a，AC=b，AB=c，先由正方形的性质，可得：EF∥BC，Rt△AFE∽Rt△ACB，再由相似三角形的对应边成比例，可得21（a+b）=ab，然后根据相似三角形面积比等于相似比的平方，用含a、b、c的代数式分别表示图（1）与图（2）中各个三角形的面积，根据△ABC的面积不变，列出方程，结合勾股定理，即可求得AC+BC的值．
此题考查了正方形的性质和相似三角形的判定与性质，以及勾股定理等知识．此题综合性较强，解题时要注意合理应用数形结合与方程思想．
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