试题

题目：
青果学院（2006·湘潭模拟）如图，△ABC是锐角三角形，正方形DEFG的一边在BC上，其余两个定点在AB，AC上，记△ABC的面积为S1，正方形的面积为S2，则（　　）



答案
A
青果学院解：过点A作BC上的高AM交BC于点M，交GF于点N，
S1=
1
2
BC×AM，S2=GF×GD=GF2
∵GF∥BC，DG∥AM
∴△AGF∽△ABC，△BDG∽△BMA，
∴
BD
BM
=
DG
AM
，
GF
BC
=
AN
AM
=
GN
BM
，GN=DM，BD+DM=BM
∴
DG
AM
+
GF
BC
=
BD
BM
+
DM
BM
=
BD+DM
BM
=1
∴GF×（AM+BC）=AM×BC，
∴GF=
AM×BC
AM+BC

∴2×S2=2×（
AM×BC
AM+BC
）2
∴S1-2S2=
BC×AM
2
-2（
AM×BC
AM+BC
）2=
BC×AM
2
（1-
4AM×BC
(AM+BC)2
）
=
AM×BC
2
×
(AM-BC)2
(AM+BC)2
≥0
∴S1≥2S2．故选A．
考点梳理
相似三角形的判定与性质；正方形的性质．
根据题意，易得△AGF∽△ABC，△BDG∽△BMA，再将△ABC的面积S1表示出来，再将正方形DEFG的面积表示出来，利用S1-2S2进行比较．
本题综合考查相似三角形和正方形的性质．
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