试题

题目：
青果学院如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，直线EF∥BD交AB于点E交AC于点G，交AD于点F，若S△AEG=
1
3
S四边形EBCG，则
CF
AD
等于（　　）



答案
B
解：∵S△AEG=
1
3
S四边形EBCG，
∴
S△AEG
S△ABC
=
1
4
，
∵EF∥BD，
∴△AEG∽△ABC，
∴
S△AEG
S△ABC
=（
AE
AB
）2=
1
4
，
∴AE：AB=1：2，即E为AB的中点，
∴EF△ABD的中位线，
∴F为AD的中点，
∴CF为直角三角形ACD斜边上的中线，
∴CF=
1
2
AD．
故选B．
考点梳理
相似三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线．
由S△AEG=
1
3
S四边形EBCG得到
S△AEG
S△ABC
=
1
4
，再由EF∥BD得到△AEG∽△ABC，根据相似三角形的性质得
S△AEG
S△ABC
=（
AE
AB
）2=
1
4
，计算得AE：AB=1：2，即E为AB的中点，于是可判断F为AD的中点，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到CF=
1
2
AD．
本题考查了相似三角形的判定与性质：有两组角对应相等的两个三角形相似；相似三角形的对应边的比相等，相似三角形面积的比等于相似比的平方．也考查了直角三角形斜边上的中线性质．
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