试题

题目：
青果学院如图，在以AB为直径的半圆中，有一个边长2的内接正方形CDEF，则以AC和BC的长为两根的一元二次方程是（　　）



答案
A
青果学院解：过点O作OH⊥DE于点H，
∵四边形CDEF是正方形，且边长为2，
∴四边形OCDH是矩形，
∴OH=CD=DE=2，OC=DH=
1
2
DE=1，
在Rt△ODH中，OD=
OH2+DH2
=
5
，
∴AB=2OD=2
5
，
∴AC=OA-OC=
5
-1，BC=OB+OC=
5
+1，
∴AC+BC=AB=2
5
，AC·BC=4，
∴以AC和BC的长为两根的一元二次方程是：x2-2
5
x+4=0．
故选A．
考点梳理
圆周角定理；正方形的性质；相似三角形的判定与性质．
首先过点O作OH⊥DE于点H，易证得四边形OCDH是矩形，由垂径定理可求得DH的长，然后由勾股定理求得OD的长，继而可求得AC与BC的长，根据根与系数的关系即可求得答案．
此题考查了垂径定理、正方形的性质、勾股定理以及根与系数的关系．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
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