试题

如图，△ABP中，∠APB=120°，点C、D在线段AB上，△PCD是等边三角形，请根据所述条件，判断下列论断：①CD²=AC·DB；②AP²=AC·AB；③AP·PC=PD·PB；④BP²-BD²=AD·DB，其中正确的个数是（　　）
A．4
B．3
C．2
D．1

B
解：∵△PCD是等边三角形，
∴∠CPD=∠PCD=∠PDC=60°，PC=PD=CD，
∴∠ACP=∠PDB=120°，∠A+∠APC=∠PCD=60°，
∵∠APB=120°，
∴∠A+∠B=180°-∠APB=60°，
∴∠APC=∠B，
∴△APC∽△PBD，
∴

PC

BD

=

AC

PD

，
∴PC·PD=AC·DB，
∴CD²=AC·DB；
故①正确；
∵∠APC=∠B，∠A是公共角，
∴△APC∽△ABP，
∴

AP

AB

=

AC

AP

，
∴AP²=AC·AB；
故②正确；
∵△APC∽△PBD，
∴AP：PB=PC：BD，
∴AP·BD=PC·PB，
∵PC=PD=CD，
∴AP·BD=PD·PB，
故③错误；
∵△APC∽△PBD，△APC∽△ABP，
∴△PBD∽△ABP，
∴BP：AB=BD：BP，
∴BP²=AB·BD，
∴BP²-BD²=AB·BD-BD²=BD·（AB-BD）=AD·DB；
故④正确．
故选B．