试题

题目：
青果学院如图，△ABC中，AB=AC，∠A=90°，AE=
1
3
AC，BD=
1
3
AB．求证：∠ADE=∠EBC．
答案
青果学院解：如右图所示，设AE=x，
∵AB=AC，∠A=90°，AE=
1
3
AC，BD=
1
3
AB，
∴AB=AC=3x，CE=AD=2x，BD=AE=x，
∴DE=
AE2+AD2
=
5
x，
BE=
AE2+AB2
=
10
x，
BC=
AC2+AB2
=3
2
x，
∴cos∠ADE=
AD
DE
=
2
5
5
，
在△CBE中，cos∠CBE=
BC2+BE2-CE2
2BC·BE
=
2
5
5
，
∴cos∠ADE=cos∠CBE，
∴∠ADE=∠CBE．
青果学院解：如右图所示，设AE=x，
∵AB=AC，∠A=90°，AE=
1
3
AC，BD=
1
3
AB，
∴AB=AC=3x，CE=AD=2x，BD=AE=x，
∴DE=
AE2+AD2
=
5
x，
BE=
AE2+AB2
=
10
x，
BC=
AC2+AB2
=3
2
x，
∴cos∠ADE=
AD
DE
=
2
5
5
，
在△CBE中，cos∠CBE=
BC2+BE2-CE2
2BC·BE
=
2
5
5
，
∴cos∠ADE=cos∠CBE，
∴∠ADE=∠CBE．
考点梳理
相似三角形的判定与性质．
设AE=x，由于AB=AC，∠A=90°，AE=
1
3
AC，BD=
1
3
AB，那么AB=AC=3x，CE=AD=2x，BD=AE=x，利用勾股定理可求DE、BE、BC，易求cos∠ADE，在△CBE中，利用余弦定理可求cos∠CBE，从而有cos∠ADE=cos∠CBE，即∠ADE=∠CBE．
本题考查了勾股定理、余弦定理．两个锐角的余弦相等，则这两个角相等．
计算题．
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