试题

题目：
青果学院如图，已知AD为△ABC的角平分线，EF为AD的垂直平分线．求证：FD2=FB·FC．
答案
青果学院证明：连接AF，
∵AD是角平分线，
∴∠BAD=∠CAD，
又EF为AD的垂直平分线，∴AF=FD，∠DAF=∠ADF，
∴∠DAC+∠CAF=∠B+∠BAD，
∴∠CAF=∠B，
∵∠AFC=∠AFC，
∴△ACF∽△BAF，即
CF
AF
=
AF
BF
，
∴AF2=CF·BF，
即FD2=CF·BF．
青果学院证明：连接AF，
∵AD是角平分线，
∴∠BAD=∠CAD，
又EF为AD的垂直平分线，∴AF=FD，∠DAF=∠ADF，
∴∠DAC+∠CAF=∠B+∠BAD，
∴∠CAF=∠B，
∵∠AFC=∠AFC，
∴△ACF∽△BAF，即
CF
AF
=
AF
BF
，
∴AF2=CF·BF，
即FD2=CF·BF．
考点梳理
相似三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质．
连AF，则DF=AF，再由△ACF∽△BAF，对应边成比例，即可求证．
本题主要考查了相似三角形的判定及性质以及垂直平分线的性质问题，应熟练掌握．
证明题．
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