试题

如图，已知△ABC的周长为a，连接△ABC三边中点构成第二个三角形，再顺次连接第二个三角形各边中点构成第三个三角形，依此类推．
（1）求第3个三角形的周长；
（2）求第n个三角形的周长；
（3）求第2008个三角形的周长与第2007个三角形周长的比．

解：（1）由△ABC的周长为a，
连接△ABC三边中点构成第二个三角形为A₁B₁C₁，
它的周长是△ABC的周长的

1

2

，
由△A₁B₁C₁∽△ABC得

△A1B1C1

△ABC

=

1

2

，
则第三个三角形的周长是由A₁B₁C₁的

1

2

，
即为△ABC的周长

1

4

，
所以第3个三角形的周长为

1

4

a；

（2）由（1）知．则第三个三角形它的周长是△ABC的周长的

1

4

，
依此类推，第n个三角形的周长为

a

2n-1

；

（3）第2008个三角形的周长为

a

22008-1

=

a

22007

，
第2007个三角形周长的为

a

22007-1

=

a

22006

，
则二者之比为

1

2

．
答：（1）第3个三角形的周长为

1

4

a；
（2）第n个三角形的周长为

a

2n-1

；
（3）第2008个三角形的周长与第2007个三角形周长的比为

1

2

．
解：（1）由△ABC的周长为a，
连接△ABC三边中点构成第二个三角形为A₁B₁C₁，
它的周长是△ABC的周长的

1

2

，
由△A₁B₁C₁∽△ABC得

△A1B1C1

△ABC

=

1

2

，
则第三个三角形的周长是由A₁B₁C₁的

1

2

，
即为△ABC的周长

1

4

，
所以第3个三角形的周长为

1

4

a；

（2）由（1）知．则第三个三角形它的周长是△ABC的周长的

1

4

，
依此类推，第n个三角形的周长为

a

2n-1

；

（3）第2008个三角形的周长为

a

22008-1

=

a

22007

，
第2007个三角形周长的为

a

22007-1

=

a

22006

，
则二者之比为

1

2

．
答：（1）第3个三角形的周长为

1

4

a；
（2）第n个三角形的周长为

a

2n-1

；
（3）第2008个三角形的周长与第2007个三角形周长的比为

1

2

．