试题

题目：
青果学院如图，·ABCD中，M为BC中点，AN=3MN，BN的延长线交AC于E，交CD于F．
（1）求AE：EC的值；
（2）当S△AEB=9时，求S△ECF．
答案
青果学院解：（1）延长AD、BF交于G．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴△BCE∽△GAE，△BMN∽△GAN，
∴
AE
EC
=
AG
BC
，
MN
AN
=
BM
AG
，
∵AN=3MN，
∴
BM
AG
=
1
3
，
∵M为BC中点，
∴BC=2BM，
∴
AG
BC
=
3
2
，
∴AE：EC=3：2；

（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴△AEB∽△CEF，
∴
S△AEB
S△ECF
=(
AE
EC
)2=(
3
2
)2=
9
4
，
∵S△AEB=9，
∴S△ECF=4．
青果学院解：（1）延长AD、BF交于G．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴△BCE∽△GAE，△BMN∽△GAN，
∴
AE
EC
=
AG
BC
，
MN
AN
=
BM
AG
，
∵AN=3MN，
∴
BM
AG
=
1
3
，
∵M为BC中点，
∴BC=2BM，
∴
AG
BC
=
3
2
，
∴AE：EC=3：2；

（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴△AEB∽△CEF，
∴
S△AEB
S△ECF
=(
AE
EC
)2=(
3
2
)2=
9
4
，
∵S△AEB=9，
∴S△ECF=4．
考点梳理
相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．
（1）延长AD、BF交于G，根据AD∥BC得出△BCE∽△GAE，△BMN∽△GAN，推出
AE
EC
=
AG
BC
，
MN
AN
=
BM
AG
，根据AN=3MN求出
BM
AG
=
1
3
，推出
AG
BC
=
3
2
，即可得出答案；
（2）证△AEB∽△CEF，求出
S△AEB
S△ECF
=(
AE
EC
)2=
9
4
，即可得出答案．
本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质和判定的应用，注意：相似三角形的对应边成比例，相似三角形的面积比等于相似比的平方．
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