试题

题目：
如图，在四边形ABCD中，E是BC的中点，且∠AED=∠B=∠C=60°，过点E作EM⊥AD于M．青果学院
（1）求证：AB·DE=BE·AE； 
（2）求
EM
BC
的值．
答案
青果学院（1）证明：∵∠AED=60°，
∴∠AEB+∠DEC=120°，
∵∠B=60°，
∴∠BAE+∠AEB=120°，
∴∠BAE=∠DEC，
又∵∠B=∠C=60°，
∴△ABE∽△ECD，
∴
AB
EC
=
AE
ED
，
∴AB·ED=EC·EA，
∵E是BC的中点，
∴EB=EC，
∴AB·DE=BE·AE．

（2）解：过点E作EN⊥AB于点N，
∵AB·DE=BE·AE，
∴
AB
BE
=
AE
DE
，
又∵∠AED=∠B=60°，
∴△ABE∽AED，
∴∠BAE=∠DAE，
∵NE⊥AB，EM⊥AD，
∴NE=EM，
∴sin60°=
NE
BE
=
3
2
，
∵BE=EC，
∴
EN
BC
=
EM
BC
=
3
4
．
青果学院（1）证明：∵∠AED=60°，
∴∠AEB+∠DEC=120°，
∵∠B=60°，
∴∠BAE+∠AEB=120°，
∴∠BAE=∠DEC，
又∵∠B=∠C=60°，
∴△ABE∽△ECD，
∴
AB
EC
=
AE
ED
，
∴AB·ED=EC·EA，
∵E是BC的中点，
∴EB=EC，
∴AB·DE=BE·AE．

（2）解：过点E作EN⊥AB于点N，
∵AB·DE=BE·AE，
∴
AB
BE
=
AE
DE
，
又∵∠AED=∠B=60°，
∴△ABE∽AED，
∴∠BAE=∠DAE，
∵NE⊥AB，EM⊥AD，
∴NE=EM，
∴sin60°=
NE
BE
=
3
2
，
∵BE=EC，
∴
EN
BC
=
EM
BC
=
3
4
．
考点梳理
相似三角形的判定与性质．
（1）利用已知得出∠BAE=∠DEC，进而得出△ABE∽△ECD，利用相似三角形的性质求出即可；
（2）利用（1）中所求，进而得出△ABE∽AED，即可得出∠BAE=∠DAE，得出EN=EM，进而利用特殊角的三角函数值求出即可．
此题考查了相似三角形的判定与性质以及角平分线的性质和特殊角的三角函数数值等知识，综合性较强，得出NE=EM是解题关键．
找相似题