试题

题目：
已知：△ABC中，∠BAC=120°，D、E在BC上（D在B、E之间），且∠DAE=60°，AD=AE．求证：
（1）DE2=BD·CE；
（2）AB2=BD·BC．
答案
青果学院证明：如右图所示，
（1）∵∠DAE=60°，AD=AE，
∴△ADE是等边三角形，
∴AD=DE=AE，∠ADE=∠DEA=∠DAE=60°，
∴∠ADB=∠CEA=120°，
又∵∠BAC=120°，∠ADE=∠B+∠BAD，
∴∠B+∠BAD=∠BAD+∠EAC=60°，
∴∠B=∠EAC，
∴△ABD∽△CAE，
∴
AD
BD
=
CE
AE
，
又∵AD=DE=AE，
∴DE2=BD·CE；

（2）∵∠B=∠B，∠BDA=∠BAC=120°，
∴△ABD∽△CBA，
∴
AB
BD
=
BC
AB
，
∴AB2=BD·BC．
青果学院证明：如右图所示，
（1）∵∠DAE=60°，AD=AE，
∴△ADE是等边三角形，
∴AD=DE=AE，∠ADE=∠DEA=∠DAE=60°，
∴∠ADB=∠CEA=120°，
又∵∠BAC=120°，∠ADE=∠B+∠BAD，
∴∠B+∠BAD=∠BAD+∠EAC=60°，
∴∠B=∠EAC，
∴△ABD∽△CAE，
∴
AD
BD
=
CE
AE
，
又∵AD=DE=AE，
∴DE2=BD·CE；

（2）∵∠B=∠B，∠BDA=∠BAC=120°，
∴△ABD∽△CBA，
∴
AB
BD
=
BC
AB
，
∴AB2=BD·BC．
考点梳理
相似三角形的判定与性质；三角形内角和定理；等边三角形的判定．
（1）利用∠DAE=60°，AD=AE，易证△ADE是等边三角形，结合等边三角形的性质及三角形外角性质易证∠ADB=∠CEA=120°，∠B=∠EAC，从而可证△ABD∽△CAE，于是
AD
BD
=
CE
AE
，而AD=DE=AE，从而可证DE2=BD·CE；
（2）由于∠B=∠B，∠BDA=∠BAC=120°，易证△ABD∽△CBA，从而有
AB
BD
=
BC
AB
，那么有AB2=BD·BC．
本题考查了等边三角形的判定和性质、三角形外角性质、相似三角形的判定和性质．
证明题．
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