试题

已知正方形ABCD的边长为

2

+1，过正方形的顶点A和对角线交点O作⊙O′，分别交AB、AD于F、E，⊙O′的半径为

3

2

．
（1）求证：AE=BF．
（2）现给出以下两个结论：①△AEF的面积不变；②

AE

AF

的值不变．其中只有一个结论是正确的，请选择正确的结论并求其值．

（1）证明：连接OE、OF，
由圆内接四边形性质可知∠EAF+∠EOF=180°，且∠EAF=90°，
∴∠EOF=90°，
由正方形的性质可知，∠AOB=90°，∠OAE=∠OBF=45°，OA=OB，
∴∠AOE=∠BOF，
∴△AOE≌△BOF，
∴AE=BF；

（2）解：△AEF的面积不变，正确．
理由：连接EF，
∵∠EAF=90°，∴直径EF=

3

，
由勾股定理，得AE²+AF²=3，
又AE+AF=AB=

2

+1，
解得AE·AF=

2

，
∴S_△AEF=

1

2

AE·AF=

2

2

．
（1）证明：连接OE、OF，
由圆内接四边形性质可知∠EAF+∠EOF=180°，且∠EAF=90°，
∴∠EOF=90°，
由正方形的性质可知，∠AOB=90°，∠OAE=∠OBF=45°，OA=OB，
∴∠AOE=∠BOF，
∴△AOE≌△BOF，
∴AE=BF；

（2）解：△AEF的面积不变，正确．
理由：连接EF，
∵∠EAF=90°，∴直径EF=

3

，
由勾股定理，得AE²+AF²=3，
又AE+AF=AB=

2

+1，
解得AE·AF=

2

，
∴S_△AEF=

1

2

AE·AF=

2

2

．