试题

题目：
△ABC中，D为AB上一点，且4AD=AB．过D的射线l与C在AB的同侧，交△ABC的外接圆于P，且∠ADP=∠ACB，证明PB=2PD．
答案
证明：连接AP．
∵∠APB=∠ACB，∠ADP=∠ACB，青果学院
∴∠APB=∠ADP，
而∠ABP公共，
∴△APB∽△ADP．
∴PA2=AD·AB，
又∵4AD=AB，
∴PA2=4AD2，即PA=2AD．
由△APB∽△ADP，得
PA
AD
=
PB
PD
=2，
所以PB=2PD．
证明：连接AP．
∵∠APB=∠ACB，∠ADP=∠ACB，青果学院
∴∠APB=∠ADP，
而∠ABP公共，
∴△APB∽△ADP．
∴PA2=AD·AB，
又∵4AD=AB，
∴PA2=4AD2，即PA=2AD．
由△APB∽△ADP，得
PA
AD
=
PB
PD
=2，
所以PB=2PD．
考点梳理
圆周角定理；相似三角形的判定与性质．
连接AP，由∠APB=∠ACB，∠ADP=∠ACB，得到∠APB=∠ADP，可证出△APB∽△ADP，从而PA2=AD·AB=4AD2，得PA=2AD，从而证得PB=2PD．
本题考查了圆周角定理．同弧所对的圆周角相等，并且等于它所对的圆心角的一半．同时考查了相似三角形的判定和性质．
证明题．
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