试题

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AM、AN分别是BC边上的中线和∠BAC的平分线，过C作CD⊥AN于D．
（Ⅰ）求证：DM=

1

2

（AB-AC）
（Ⅱ）求证：MN·MC=

1

4

(AB-AC)2．

（1）证明：延长CD交AB于E，
∵AN平分∠BAC，
∴∠BAN=∠CAN，
∵∠ACB=90°，CD⊥AN，
∴∠ADC=∠ADE=∠ACB=90°，
∴∠CAN+∠ACD=∠ACD+∠ECB=90°，
∴∠ECB=∠CAD=∠BAD，
在△AED和△ACD中

∠EAD=∠CAD AD=AD ∠ADE=∠ADC

，
∴△AED≌△ACD，
∴AE=AC，ED=DC，
∵AM是边BC上的中线，
∴DM∥BE，
DM=

1

2

BE=

1

2

（AB-AE），
即DM=

1

2

（AB-AC）．

（2）证明：由（1）知：∠ECB=∠BAN，DM∥BE，
∴∠ECB=∠BAN=∠NDM，
∵∠NDM=∠DCM，∠DMC=∠DMC，
∴△DMN∽△CMD，
∴

DM

MN

=

CM

DM

，
即DM²=MN·MC，
由（1）DM=

1

2

（AB-AC），
∴DM²=

1

4

（AB-AC）²，
即MN·MC=

1

4

（AB-AC）²．

（1）证明：延长CD交AB于E，
∵AN平分∠BAC，
∴∠BAN=∠CAN，
∵∠ACB=90°，CD⊥AN，
∴∠ADC=∠ADE=∠ACB=90°，
∴∠CAN+∠ACD=∠ACD+∠ECB=90°，
∴∠ECB=∠CAD=∠BAD，
在△AED和△ACD中

∠EAD=∠CAD AD=AD ∠ADE=∠ADC

，
∴△AED≌△ACD，
∴AE=AC，ED=DC，
∵AM是边BC上的中线，
∴DM∥BE，
DM=

1

2

BE=

1

2

（AB-AE），
即DM=

1

2

（AB-AC）．

（2）证明：由（1）知：∠ECB=∠BAN，DM∥BE，
∴∠ECB=∠BAN=∠NDM，
∵∠NDM=∠DCM，∠DMC=∠DMC，
∴△DMN∽△CMD，
∴

DM

MN

=

CM

DM

，
即DM²=MN·MC，
由（1）DM=

1

2

（AB-AC），
∴DM²=

1

4

（AB-AC）²，
即MN·MC=

1

4

（AB-AC）²．