试题

如图所示，在平面直角坐标系中，以y轴上的点P为圆心的OP与x轴交于A、B两点，与y轴交于C．D两点，连接AC．
（1）若点E在AB上，EA=EC，求证：AC²=AE·AB；
（2）若∠BPO=60°，AC=

8

3

3

，过点A的直线交y轴正半轴于点M（O，8），点R（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）在直线y=kx（k＞0）上，且x₁、x₂是方程x²-（k+2）x+4=O的两根；直线AM与直线y=kx交于点N，分别过P、Q，N作x轴的垂线，垂足分别为R’、Q'、N'．请找出OR'，OQ'，ON'之间的关系式，并加以证明．

证明：△ACE∽△ABC，
∴

AC

AB

=

AE

AC

，即AC²=AE·AB，
∵AC²=OC²+OA²=（AE²-OE²）+（OE+AE）²，
=AE²-OE²+OE²+AE²+2OE·AE，
=2AE²+2OE·AE，
=AE·2（AE+OE），
=AE·2OA，
∴AC²=AE·AB．

（2）∵∠BPO=60°，AC=AE，
∴∠OAC=∠ECA=

1

2

∠BPO=30°，在直角三角形COA中，AC=

8

3

3

，
∴OA=4，则直线AM的解析式y=-2x+8，
∵x₁、x₂是方程x²-（k+2）x+4=O的两根，
∴x₁+x₂=k+2，x₁x₂=4，于是

1

OR′

+

1

OQ′

=

1

x1

+

1

x2

=

k+2

4

，
又由

y=kx y=-2x+8

得交点N的横坐标x=

8

k+2

，
显然

2

ON′

=

k+2

4

，
∴

1

OR′

+

1

OQ′

=

2

ON′

．
证明：△ACE∽△ABC，
∴

AC

AB

=

AE

AC

，即AC²=AE·AB，
∵AC²=OC²+OA²=（AE²-OE²）+（OE+AE）²，
=AE²-OE²+OE²+AE²+2OE·AE，
=2AE²+2OE·AE，
=AE·2（AE+OE），
=AE·2OA，
∴AC²=AE·AB．

（2）∵∠BPO=60°，AC=AE，
∴∠OAC=∠ECA=

1

2

∠BPO=30°，在直角三角形COA中，AC=

8

3

3

，
∴OA=4，则直线AM的解析式y=-2x+8，
∵x₁、x₂是方程x²-（k+2）x+4=O的两根，
∴x₁+x₂=k+2，x₁x₂=4，于是

1

OR′

+

1

OQ′

=

1

x1

+

1

x2

=

k+2

4

，
又由

y=kx y=-2x+8

得交点N的横坐标x=

8

k+2

，
显然

2

ON′

=

k+2

4

，
∴

1

OR′

+

1

OQ′

=

2

ON′

．