试题

题目：
如图，在·ABCD中，P1、P2、P3…Pn-1是BD的n等分点，连接AP2，并延长交BC于点E，连接APn-2并延长交CD于点F．
青果学院（1）求证：EF∥BD；
（2）设·ABCD的面积是S，若S△AEF=
3
8
S，求n的值．
答案
（1）证明：∵AD∥BC，AB∥DC，
∴△Pn-2FD∽△Pn-2AB，△P2BE∽△P2DA
∴
APn-2
Pn-2F
=
BPn-2
Pn-2D
=
n-2
2
，
AP2
P2E
=
DP2
P2B
=
n-2
2

即
APn-2
Pn-2F
=
AP2
P2E
，
∴EF∥BD．

（2）解：由①可知
DF
AB
=
2
n-2
，
∴S△AFD=
1
n-2
S，
同理可证S△ABE=
1
n-2
S
∴
DF
DC
=
2
n-2
，
∴
FC
DC
=
DC-DF
DC
=1-
DF
DC
=
n-4
n-2
，
从而知S△ECF=
1
2
(
n-4
n-2
)2S，
已知S△AEF=
3
8
S，
∴
3
8
S=S-2×
1
n-2
S-
1
2
(
n-4
n-2
)2S，
即1-
2
n-2
-
(n-4)2
2(n-2)2
=
3
8

解方程得n=6．
（1）证明：∵AD∥BC，AB∥DC，
∴△Pn-2FD∽△Pn-2AB，△P2BE∽△P2DA
∴
APn-2
Pn-2F
=
BPn-2
Pn-2D
=
n-2
2
，
AP2
P2E
=
DP2
P2B
=
n-2
2

即
APn-2
Pn-2F
=
AP2
P2E
，
∴EF∥BD．

（2）解：由①可知
DF
AB
=
2
n-2
，
∴S△AFD=
1
n-2
S，
同理可证S△ABE=
1
n-2
S
∴
DF
DC
=
2
n-2
，
∴
FC
DC
=
DC-DF
DC
=1-
DF
DC
=
n-4
n-2
，
从而知S△ECF=
1
2
(
n-4
n-2
)2S，
已知S△AEF=
3
8
S，
∴
3
8
S=S-2×
1
n-2
S-
1
2
(
n-4
n-2
)2S，
即1-
2
n-2
-
(n-4)2
2(n-2)2
=
3
8

解方程得n=6．
考点梳理
相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．
①根据AD∥BC，AB∥DC，证明△Pn-2FD∽△Pn-2AB，△P2BE∽△P2DA，利用其相似比可得
APn-2
Pn-2F
=
AP2
P2F
，然后即可证明．
②由①可知
DF
AB
=
2
n-2
，同理可证S△ABE=
1
n-2
S，从而知S△ECF=
1
2
(
n-4
n-2
)2S，然后解
3
8
S=S-2×
1
n-2
S-
1
2
(
n-4
n-2
)2S，此方程即可．
此题主要考查学生对相似三角形的判定与性质和平行四边形的性质的理解和掌握，此题的难点是得出
3
8
S=S-2×
1
n-2
S-
1
2
(
n-4
n-2
)2S，此关系式，因此此题有一定难度，属于中档题．
计算题．
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