试题

如图，圆O与圆D相交于A，B两点，BC为圆D的切线，点C在圆O上，且AB=BC．
（1）证明：点O在圆D的圆周上．
（2）设△ABC的面积为S，求圆D的半径R的最小值．

解：（1）连OA，OB，OC，AC，因为O为圆心，AB=BC，
所以△OBA∽△OBC，从而∠OBA=∠OBC．
因为OD⊥AB，DB⊥BC，所以
∠DOB=90°-∠OBA=90°-∠OBC=∠DBO，
所以DB=DO，因此点O在圆D的圆周上．

（2）设圆O的半径为a，BO的延长线交AC于点E，易知BE⊥AC．
设AC=2y（0＜y≤a），OE=x，AB=l，则a²=x²+y²，S=y（a+x），
l²=y²+（a+x）²=y²+a²+2ax+x²=2a²+2ax=2a（a+x）=

2aS

y

因为∠ABC=2∠OBA=2∠OAB=∠BDO，AB=BC，DB=DO，
所以△BDO∽△ABC，所以

BD

AB

=

BO

AC

，即

r

l

=

a

2y

，故r=

al

2y

．
所以r²=

a2l2

4y2

=

a2

4y2

×

2aS

y

=

S

2

×(

a

y

)3≥

S

2

，即r≥

2S

2

，
其中等号当a=y时成立，
这时AC是圆O的直径．所以圆D的半径r的最小值为

2S

2

．
解：（1）连OA，OB，OC，AC，因为O为圆心，AB=BC，
所以△OBA∽△OBC，从而∠OBA=∠OBC．
因为OD⊥AB，DB⊥BC，所以
∠DOB=90°-∠OBA=90°-∠OBC=∠DBO，
所以DB=DO，因此点O在圆D的圆周上．

（2）设圆O的半径为a，BO的延长线交AC于点E，易知BE⊥AC．
设AC=2y（0＜y≤a），OE=x，AB=l，则a²=x²+y²，S=y（a+x），
l²=y²+（a+x）²=y²+a²+2ax+x²=2a²+2ax=2a（a+x）=

2aS

y

因为∠ABC=2∠OBA=2∠OAB=∠BDO，AB=BC，DB=DO，
所以△BDO∽△ABC，所以

BD

AB

=

BO

AC

，即

r

l

=

a

2y

，故r=

al

2y

．
所以r²=

a2l2

4y2

=

a2

4y2

×

2aS

y

=

S

2

×(

a

y

)3≥

S

2

，即r≥

2S

2

，
其中等号当a=y时成立，
这时AC是圆O的直径．所以圆D的半径r的最小值为

2S

2

．