试题

题目：
青果学院设凸四边形ABCD的对角线AC、BD的交点为M，过点M作AD的平行线分别交AB、CD于点E、F，交BC的延长线于点O，P是以O为圆心OM为半径的圆上一点（位置如图所示），求证：∠OPF=∠OEP．
答案
青果学院证明：作AD、BO的延长线相交于G，
∵OE∥GA，
∴在△CGA中，
OF
OM
=
GD
GA
，
又在△BGA中，
OM
OE
=
GD
GA
，由此得
OF
OM
=
OM
OE
，而OM是⊙O的半径，
∴OM=OP，
∴
OF
OP
=
OP
OE
，
∴△POE∽△POF，
∴∠OPF=∠OEP．
青果学院证明：作AD、BO的延长线相交于G，
∵OE∥GA，
∴在△CGA中，
OF
OM
=
GD
GA
，
又在△BGA中，
OM
OE
=
GD
GA
，由此得
OF
OM
=
OM
OE
，而OM是⊙O的半径，
∴OM=OP，
∴
OF
OP
=
OP
OE
，
∴△POE∽△POF，
∴∠OPF=∠OEP．
考点梳理
相似三角形的判定与性质；平行线分线段成比例．
作AD、BO的延长线相交于G，由OE∥GA，则
OF
OM
=
GD
GA
，再由
OM
OE
=
GD
GA
，从而得出
OF
OM
=
OM
OE
，由OM=OP，可以得出△POE∽△POF，从而证出∠OPF=∠OEP．
本题考查了相似三角形的判定和性质以及平行线分线段成比例定理，是一道综合题，难度较大．
证明题．
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