试题

题目：
青果学院如图，DE∥BC，FG∥AB，MN∥AC，且DE、FG、MN交于点P．若记S△ABC=S，S△PDM=S1，S△PEF=S2，S△PGN=S3．请猜想：S与S1、S2、S3之间存在怎样的关系？你能加以验证吗？
答案
解：S与S1、S2、S3之间存在关系：
S1
+
S2
+
S3
=
S
．
证明：∵FG∥AB，
∴△PDM∽△CBA，
∴
DM
AB
=
PD
BC
，
又∵DE∥BC，
∴四边形DPGB是平行四边形，
∴PD=BG，
∴
DM
AB
=
BG
BC
，
同理：
EF
AC
=
CN
BC
，
∴
DM
AB
+
EF
AC
+
GN
BC
=
BC
BC
=1
由△PDM∽△CBA得
S1
S
=(
DM
AB
)2，
即
S1
S
=
DM
AB
，
S2
S
=
EF
AC
，
S3
S
=
GN
BC
，
∴即
S1
S
+
S2
S
+
S3
S
=1，
∴
S1
+
S2
+
S3
=
S
．
解：S与S1、S2、S3之间存在关系：
S1
+
S2
+
S3
=
S
．
证明：∵FG∥AB，
∴△PDM∽△CBA，
∴
DM
AB
=
PD
BC
，
又∵DE∥BC，
∴四边形DPGB是平行四边形，
∴PD=BG，
∴
DM
AB
=
BG
BC
，
同理：
EF
AC
=
CN
BC
，
∴
DM
AB
+
EF
AC
+
GN
BC
=
BC
BC
=1
由△PDM∽△CBA得
S1
S
=(
DM
AB
)2，
即
S1
S
=
DM
AB
，
S2
S
=
EF
AC
，
S3
S
=
GN
BC
，
∴即
S1
S
+
S2
S
+
S3
S
=1，
∴
S1
+
S2
+
S3
=
S
．
考点梳理
相似三角形的判定与性质；三角形的面积；平行四边形的判定与性质．
根据DE∥BC，FG∥AB，MN∥AC，求证△PDM∽△CBA，利用四边形DPBG是平行四边形得出PD=BG，
DM
AB
=
BG
BC
，
EF
AC
=
CN
BC
，进一步得出
DM
AB
+
EF
AC
+
GN
BC
=
BC
BC
=1，再利用相似三角形面积比是相似比的平方即可得出结论．
此题主要考查学生对相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，三角形面积的理解和掌握，利用相似三角形的相似比和平行四边形的性质得出
DM
AB
+
EF
AC
+
GN
BC
=
BC
BC
=1，这是此题的突破点，此题属于难题．
证明题．
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