试题

题目：
青果学院如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90゜，正方形EFGH四个顶点分别在三边上，连CH，CG交EF于M、N，求证：EM·FN=MN2．
答案
证明：∵四边形EFGH是正方形，
∴EF∥AB，
∴△CEM∽△CAH，△CFN∽△CBG，△CMN∽△CHG，
∴
EM
AH
=
CM
CH
，
FN
BG
=
CN
CG
，
MN
HG
=
CM
CH
=
CN
CG
，
∴（
MN
HG
）2=
EM
AH
×
FN
BG
=
EM·FN
AH·BG
，
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90゜，
∴∠A+∠B=90°，
∵四边形EFGH是正方形，
∴∠AHE=∠FGB=90°，
∴∠BFG+∠B=90°，
∴∠A=∠BFG，
∴△AEH∽△EBG，
∴EH：BG=AH：FG，
∴EH·FG=BG·AH，
∵EH=HG=FG，
∴HG2=BG·AH，
∴EM·FN=MN2．
证明：∵四边形EFGH是正方形，
∴EF∥AB，
∴△CEM∽△CAH，△CFN∽△CBG，△CMN∽△CHG，
∴
EM
AH
=
CM
CH
，
FN
BG
=
CN
CG
，
MN
HG
=
CM
CH
=
CN
CG
，
∴（
MN
HG
）2=
EM
AH
×
FN
BG
=
EM·FN
AH·BG
，
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90゜，
∴∠A+∠B=90°，
∵四边形EFGH是正方形，
∴∠AHE=∠FGB=90°，
∴∠BFG+∠B=90°，
∴∠A=∠BFG，
∴△AEH∽△EBG，
∴EH：BG=AH：FG，
∴EH·FG=BG·AH，
∵EH=HG=FG，
∴HG2=BG·AH，
∴EM·FN=MN2．
考点梳理
相似三角形的判定与性质；正方形的性质．
由四边形EFGH是正方形，可证得△CEM∽△CAH，△CFN∽△CBG，△CMN∽△CHG，然后由相似三角形的对应边成比例，易得（
MN
HG
）2=
EM
AH
×
FN
BG
=
EM·FN
AH·BG
，易证得△AEH∽△EBG，则可得HG2=BG·AH，继而证得EM·FN=MN2．
此题考查了相似三角形的判定与性质以及正方形的性质．此题难度较大，注意掌握数形结合思想的应用．
证明题．
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