试题

题目：
已知：△ABC中，∠BAC=135°，D、E在BC上（D在B、E之间），且AD=AE，∠DAE=90°，求证：
（1）DE2=2BD·CE，
（2）AB2：AC2=BD：CE．
答案
青果学院证明：
（1）∵∠BAC=135°，∴∠B+∠C=45°，
∵AD=AE，∠DAE=90°，
∴∠B+∠BAD=45°，
∴∠BAD=∠C，又∠ADB=∠AEC=135°，
∴△ABD∽△CAE，
∴
BD
AE
=
AD
CE
，即AD·AE=BD·CE，即AD2=BD·CE，
又DE2=AD2+AE2=2AD2，
∴DE2=2BD·CE．

（2）由（1）得
AB
AC
=
BD
AE
=
BD
AD
，
AB2
AC2
=
BD2
AD2
=
BD2
BD·CE
=
BD
CE
．
青果学院证明：
（1）∵∠BAC=135°，∴∠B+∠C=45°，
∵AD=AE，∠DAE=90°，
∴∠B+∠BAD=45°，
∴∠BAD=∠C，又∠ADB=∠AEC=135°，
∴△ABD∽△CAE，
∴
BD
AE
=
AD
CE
，即AD·AE=BD·CE，即AD2=BD·CE，
又DE2=AD2+AE2=2AD2，
∴DE2=2BD·CE．

（2）由（1）得
AB
AC
=
BD
AE
=
BD
AD
，
AB2
AC2
=
BD2
AD2
=
BD2
BD·CE
=
BD
CE
．
考点梳理
相似三角形的判定与性质．
可先作出简单的图形，结合图形进行分析；由题中条件可得△ABD∽△CAE，得出AD2=BD·CE，进而再由线段及垂直关系，第一问可求解，第二问在第一问的基础上替换一下即可．
本题主要考查了相似三角形的判定及性质问题，应熟练掌握并运用．
证明题．
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