试题

题目：
青果学院如图，已知在△ABC中，AC=BC，∠C=90゜，点N、P分别为AC、BC上一点，NP、AB的延长线交于点F
（1）若BF=
2
PC，求证：PA=PF；
（2）在（1）的条件下，若点P为BC的中点，求
PN
PF
的值．
答案
青果学院（1）证明：过点PE∥AB，交AC于点E，
∵AC=BC，∠C=90゜，
∴EC：AC=PC：BC，
∴EC=PC，
∴∠CEP=∠ABC=45°，AE=PB，PE=
2
PC，
∴∠AEP=∠PBF=135°，PE=BF，
在△PAE和△FPB中，
AE=PB
∠AEP=∠PBF
PE=FB
，
∴△PAE≌△FPB（SAS），
∴PA=PF；

（2）解：∵PE∥AB，
∴△CEP∽△CAB，△NEP∽△NAF，
∴
PE
AB
=
CP
CB
，
PE
AF
=
PN
FN
，
∵点P为BC的中点，
∴
PE
AB
=
1
2
，
∵PE=BF，
∴
PE
AF
=
1
3
，
∴
PN
FN
=
1
3
，
∴
PN
PF
=
1
2
．
青果学院（1）证明：过点PE∥AB，交AC于点E，
∵AC=BC，∠C=90゜，
∴EC：AC=PC：BC，
∴EC=PC，
∴∠CEP=∠ABC=45°，AE=PB，PE=
2
PC，
∴∠AEP=∠PBF=135°，PE=BF，
在△PAE和△FPB中，
AE=PB
∠AEP=∠PBF
PE=FB
，
∴△PAE≌△FPB（SAS），
∴PA=PF；

（2）解：∵PE∥AB，
∴△CEP∽△CAB，△NEP∽△NAF，
∴
PE
AB
=
CP
CB
，
PE
AF
=
PN
FN
，
∵点P为BC的中点，
∴
PE
AB
=
1
2
，
∵PE=BF，
∴
PE
AF
=
1
3
，
∴
PN
FN
=
1
3
，
∴
PN
PF
=
1
2
．
考点梳理
相似三角形的判定与性质．
（1）首先过点PE∥AB，交AC于点E，易证得△PAE≌△FPB，然后由全等三角形的性质，证得PA=PF；
（2）易证得△CEP∽△CAB，△NEP∽△NAF，然后由相似三角形的对应边成比例与三角形中位线的性质，求得
PN
PF
的值．
此题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及三角形的中位线的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
找相似题