试题

（2009·鼓楼区二模）如图，已知等边三角形ABC的边长为1，E、F、G分别是AB、BC、CA上的点，且AE=BF=CG，当△EFG的面积恰好为△ABC面积的一半时，AE的长为（　　）
A．

1

2

B．

1

3

C．

5 +1

2

或

5 -1

2

D．

3+ 3

6

或

3- 3

6

D
解：∵AE=BF=CG，AB=AC=BC，∴AG=BE=CF，
∵∠A=∠B=∠C，∴△AEG≌△BFE≌△CGF，
∴EF=FG=EG，∴△ABC∽△EFG，
∴

EF

AB

=

S△EFG S△ABC

，
∵△EFG的面积恰好为△ABC面积的一半，
∴

EF

AB

=

2

2

，
∵AB=1，∴EF=

2

2

，
设AE=x，则AG=1-x，过G点作AE边上的高GH，
∴∠AGH=30°，AH=

1

2

（1-x），EH=

3

2

x-

1

2

，
∴由勾股定理得HG²=AG²-AH²=EG²-EH²，
即（1-x）²-[

1

2

（1-x）]²=（

2

2

）²-（

3

2

x-

1

2

）²，
解得x=

3± 3

6

．
故选D．