试题

（2010·武汉模拟）如图，在矩形ABCD中，AB=2BC，E为CD上一点，且AE=AB，M为AE的中点．下列结论：
①DM=DA；②EB平分∠AEC；③S_△ABE=S_△ADE；④BE²=2AE·EC．其中结论正确的个数是（　　）
A．1
B．2
C．3
D．4

C
解：①∵在直角△ADE中，∠ADE=90°，M为AE的中点，∴DM=

1

2

AE，∵AE=AB，AB=2BC=2DA，∴DM=DA，正确；
②在直角△ADE中，∠ADE=90°，AD=

1

2

AE，∴∠DEA=30°．∵CD∥AB，∴∠EAB=∠DEA=30°，∠CEB=∠ABE．在△EAB中，∠EAB=30°，AE=AB，∴∠AEB=∠ABE=75°，∴∠CEB=75°，∴EB平分∠AEC，正确；
③∵S_△ABE=

1

2

S_矩形ABCD，S_△ADE＜S_△ADC=

1

2

S_矩形ABCD，∴S_△ABE＞S_△ADE，错误；
④在矩形ABCD中，设BC=DA=a，则AE=AB=DC=2BC=2a，DE=

3

AD=

3

a，∴EC=（2-

3

）a．在直角△BCE中，BE²=BC²+CE²=a²+[（2-

3

）a]²=（8-4

3

）a²，2AE·EC=2×2a×（2-

3

）a=（8-4

3

）a²，正确．
故选C．