试题

题目：
青果学院（2011·绍兴县模拟）如图，已知在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，P是线段AD上的任意一点（不含端点A、D），连接PC，过点P作PE⊥PC交AB于E，则BE的取值范围是（　　）



答案
B
解：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠A=∠D，
∴∠AEP+∠APE=90°，
∵PE⊥PC
∴∠APE+∠CPD=90°，
∴∠AEP=∠DPC，
∴△AEP∽△DPC；
设DP=x，BE=y，则AE=4-y，AP=6-x，
∵△AEP∽△DPC，
∴
CD
PA
=
PD
EA
，代入整理可得：y=
1
4
x2-
3
2
x+4=
1
4
（x-3）2+
7
4
，
故BE的最小值为
7
4
，又因为BE的最大值为4，
∴BE的范围为
7
4
≤BE＜4．
故选B．
考点梳理
矩形的性质；相似三角形的判定与性质．
由于BE的最大值为AB的长即2，因此只需求得BE的最小值即可；设AP=x，AE=y，根据△AEP∽△DPC可得AP·PD=AE·CD，用x、y表示出其中的线段，即可得到关于x、y的函数关系式，根据函数的性质即可求得y的最大值，由此可求得BE的最小值，即可得到BE的取值范围．
此题主要考查的是矩形的性质、相似三角形的判定和性质以及二次函数最值的应用，关键是证明△AEP∽△DPC，这一点不容易想到，难度较大，另外要求我们熟练掌握二次函数的最值的求解办法．
动点型．
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