试题

（2012·武汉模拟）如图，在△ABC中，∠B、∠C的角平分线交于点F，分别过B、C作BF、CF的垂线，交CF、BF的延长线于点D、E，且BD、EC交于点G．则下列结论：①∠D+∠E=∠A；②∠BFC-∠G=∠A；③∠BCA+∠A=2∠ABD；④AB·BC=BD·BG．正确的有（　　）
A．①②④
B．①③④
C．①②③
D．①②③④

D
解：∵在△ABC中，∠B、∠C的角平分线交于点F，
∴∠ABF=∠CBF=

1

2

∠ABC，∠ACF=∠BCF=

1

2

∠ACB，
∵∠BFD=∠CFE=∠CBF+∠BCF=

1

2

（∠ABC+∠ACB）=

1

2

（180°-∠A）=90°-

1

2

∠A，
∵BD⊥BF，EC⊥CF，
∴∠D=90°-∠BFD=

1

2

∠A，∠E=90°-∠CFE=

1

2

∠A，
∴∠D+∠E=∠A；
故①正确；
∵DG⊥BF，
∴∠FBG=90°，
∴∠G=90°-∠E=90°-

1

2

∠A，
∵∠BFC=180°-（∠CBF+∠BCF）=180°-

1

2

（∠ABC+∠ACB）=180°-（90°-

1

2

∠A）=90°+

1

2

∠A，
∴∠BFC-∠G=（90°+

1

2

∠A）-（90°-

1

2

∠A）=∠A；
故②正确；
∵DG⊥BF，
∴∠ABD=90°-∠ABF，
∵BF是△ABC的角平分线，
∴∠ABC=2∠ABF，
∴2∠ABD=180°-2∠ABF=180°-∠ABC，
∵∠BCA+∠A=180°-∠ABC，
∴∠BCA+∠A=2∠ABD；
故③正确；
连接AG，
∵在△ABC中，∠B、∠C的角平分线交于点F，
∴AF是∠BAC的平分线，
∴∠AFB=180°-（∠BAF+∠ABF）=180°-

1

2

（∠BAC+∠ABC）=180°-

1

2

（180°-∠ACB）=90°+

1

2

∠ACB①，
∵BF⊥DG，CF⊥EC，
∴∠FBG=∠FCG=90°，
∴∠FBG+∠FCG=180°，
∴点B，G，C，F共圆，
∴∠BFG=∠BCG=90°-∠FCB=90°-

1

2

∠ACB②，
∴由①②可得：∠AFB+∠BFG=180°，
∴A，F，G共线，
∵∠BAF=∠D=

1

2

∠BAC，∠DBC=90°+∠CBF，∠ABG=90°+∠ABF，
∴∠DBC=∠ABG，
∴△DBC∽△ABG，
∴BD：AB=BC：BG，
∴AB·BC=BD·BG．
故④正确．
故选D．