试题

垂心、外心，重心的共线性（欧拉线）与三角形的心有关的几何命题的证明．首先根据命题条件确定某特殊点是一个三角形的心，然后使用三角形的心的有关定理，证明命题成立．

证明：如图，H是△ABC的垂心，O是△ABC的外心，连OH与中线AM交于G．
由△OGM∽△AGH得

OG

GH

=

GM

AG

=

OM

AH

．
作MF∥CH交BH于F，作FE∥HA交AB于E，连OE，则E是AB的中点，四边形EFMO是平行四边形，
所以EF=OM．
∵EF=

1

2

AH，∴OM=

1

2

AH，即

GM

AG

=

1

2

，
G是△ABC的重心．
因此，O，G，H三点共线．
证明：如图，H是△ABC的垂心，O是△ABC的外心，连OH与中线AM交于G．
由△OGM∽△AGH得

OG

GH

=

GM

AG

=

OM

AH

．
作MF∥CH交BH于F，作FE∥HA交AB于E，连OE，则E是AB的中点，四边形EFMO是平行四边形，
所以EF=OM．
∵EF=

1

2

AH，∴OM=

1

2

AH，即

GM

AG

=

1

2

，
G是△ABC的重心．
因此，O，G，H三点共线．