试题

题目：
青果学院如图所示．在△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：4．求证：
1
AB
+
1
AC
=
1
BC
．
答案
青果学院证明：延长AB至D，使BD=AC（此时，AD=AB+AC），又延长BC至E，使AE=AC，连接ED．
下面证明，△ADE∽△ABC．
设∠A=α，∠B=2α，∠C=4α，
则∠A+∠B+∠C=7α=180°．
由作图知，∠ACB是等腰三角形ACE的外角，
∴∠ACE=180°-4α=3α，
∴∠CAE=180°-3α-3α=7α-6α=α．
从而∠EAB=2α=∠EBA，AE=BE．
又由作图AE=AC，AE=BD，
∴BE=BD，△BDE是等腰三角形，
∴∠D=∠BED=α=∠CAB，
∴△ABC∽△DAE，
即
AD
AE
=
AB
BC
，即
AB+AC
AC
=
AB
BC

∴
1
AB
+
1
AC
=
1
BC
．
青果学院证明：延长AB至D，使BD=AC（此时，AD=AB+AC），又延长BC至E，使AE=AC，连接ED．
下面证明，△ADE∽△ABC．
设∠A=α，∠B=2α，∠C=4α，
则∠A+∠B+∠C=7α=180°．
由作图知，∠ACB是等腰三角形ACE的外角，
∴∠ACE=180°-4α=3α，
∴∠CAE=180°-3α-3α=7α-6α=α．
从而∠EAB=2α=∠EBA，AE=BE．
又由作图AE=AC，AE=BD，
∴BE=BD，△BDE是等腰三角形，
∴∠D=∠BED=α=∠CAB，
∴△ABC∽△DAE，
即
AD
AE
=
AB
BC
，即
AB+AC
AC
=
AB
BC

∴
1
AB
+
1
AC
=
1
BC
．
考点梳理
相似三角形的判定与性质．
欲证
1
AB
+
1
AC
=
1
BC
，只需证明
BC+AC
AB·AC
=
1
BC
或
AB+AC
AB
=
AC
BC
即可，为此若能设法利用长度分别为AB，BC，CA及l=AB+AC这4条线段，构造一对相似三角形，问题可能解决．
注意到，原△ABC中，已含上述4条线段中的三条，因此，不妨以原三角形ABC为基础添加辅助线，构造一个三角形，使它与△ABC相似，期望能解决问题．
本题主要考查了相似三角形的判定及性质问题，能够利用其性质求解一些计算、证明问题．
证明题．
找相似题