试题

题目：
青果学院如图，已知△ABC中，AH是高，AT是角平分线，且TD⊥AB，TE⊥AC．
求证：（1）∠AHD=∠AHE；（2）
BH
BD
=
CH
CE
．
答案
证明：（1）∵∠ADT=∠AHT=∠AET=90°，
∴D，E，H在以AT为直径的圆上，
∴∠AHD=∠ATD，∠AHE=∠ATE，
又∵AT是角平分线，TD⊥AB，TE⊥AC，
∴∠ATD=∠ATE，
∴∠AHD=∠AHE．

（2）直角△AHB与直角△TDB有公共角，
∴△AHB∽△TDB，
∴
BH
BD
=
AH
TD
．
同理：△AHC∽△TEC，
∴
CH
CE
=
AH
TE

∵TD=TE，
∴
BH
BD
=
CH
CE
．
证明：（1）∵∠ADT=∠AHT=∠AET=90°，
∴D，E，H在以AT为直径的圆上，
∴∠AHD=∠ATD，∠AHE=∠ATE，
又∵AT是角平分线，TD⊥AB，TE⊥AC，
∴∠ATD=∠ATE，
∴∠AHD=∠AHE．

（2）直角△AHB与直角△TDB有公共角，
∴△AHB∽△TDB，
∴
BH
BD
=
AH
TD
．
同理：△AHC∽△TEC，
∴
CH
CE
=
AH
TE

∵TD=TE，
∴
BH
BD
=
CH
CE
．
考点梳理
相似三角形的判定与性质．
（1）先判断D，E，H在同一圆上，再用同弧所对的圆周角相等以及角平分线的性质定理证明∠AHD=∠AHE．
（2）用两角对应相等得到两对三角形相似，再用相似三角形的对应边的比相等进行证明．
本题考查的是相似三角形的判定与性质，（1）根据圆的内容得到点D，E，H在同一个圆上，再用圆周角的性质证明两个角相等．（2）用相似三角形的判定定理判定两对三角形相似，然后用相似三角形的性质，对应边的比相等以及角平分线的性质定理进行证明．
证明题．
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