试题

已知：△ABC中，∠C=90°，AC=BC=1，BD是AC边上的中线，E点在AB边上，且ED⊥BD．求△DEA的面积（如图）．

解：作CF⊥BA于F，如右图所示，
∵BC=AC，∠C=90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴CF是底边AB上的中线，
∴H为△ABC的重心，
∴S_△BHC=

2

3

S_△BCF=

2

3

×

1

2

·S_△ABC=

2

3

×

1

2

×

1

2

=

1

6

，
∵∠C=∠BDE=90°，
∴∠AED=∠CHB=90°+∠DBE，
又∵∠A=∠BCH=45°，
∴△ADE∽△CBH，
∴S_△DEA：S_△BHC=（

AD

BC

）²=

1

4

，
∴S_△DEA=

1

4

·S_△BHC=

1

4

×

1

6

=

1

24

．
解：作CF⊥BA于F，如右图所示，
∵BC=AC，∠C=90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴CF是底边AB上的中线，
∴H为△ABC的重心，
∴S_△BHC=

2

3

S_△BCF=

2

3

×

1

2

·S_△ABC=

2

3

×

1

2

×

1

2

=

1

6

，
∵∠C=∠BDE=90°，
∴∠AED=∠CHB=90°+∠DBE，
又∵∠A=∠BCH=45°，
∴△ADE∽△CBH，
∴S_△DEA：S_△BHC=（

AD

BC

）²=

1

4

，
∴S_△DEA=

1

4

·S_△BHC=

1

4

×

1

6

=

1

24

．