试题

（2013·秀洲区二模）平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2）．延长CB交x轴于点A₁，作正方形A₁B₁C₁C；延长C₁B₁交x轴于点A₂，作正方形A₂B₂C₂C₁…按这样的规律进行下去，正方形A₂₀₁₃B₂₀₁₃C₂₀₁₃C₂₀₁₂的面积为（　　）
A．5×(

3

2

)2012
B．5×(

3

2

)2013
C．5×(

9

4

)2012
D．5×(

9

4

)2013

D
解：如图，∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=∠BAD=90°，AB=BC，
∴∠ABA₁=90°，∠DAO+∠BAA₁=90°，
又∵在坐标平面内，∠DAO+∠ADO=90°，
∴∠ADO=∠BAA₁，
在△AOD和△A₁BA中，

∠AOD=∠ABA1=90° ∠ADO=∠BAA1

，
∴△AOD∽△A₁BA，
∴OD：AO=AB：A₁B=2，
∴BC=2A₁B，
∴A₁C=

3

2

BC，
以此类推A₂C₁=

3

2

A₁C，A₃C₂=

3

2

A₂C₁，…，
即后一个正方形的边长是前一个正方形的边长的

3

2

倍，
∴第2014个正方形的边长为（

3

2

）²⁰¹³BC，
∵A的坐标为（1，0），D点坐标为（0，2），
∴BC=AD=

12+22

=

5

，
∴A₂₀₁₃B₂₀₁₃C₂₀₁₃C₂₀₁₂，即第2014个正方形的面积为[（

3

2

）²⁰¹³BC]²=5×（

3

2

）⁴⁰²⁶=5×（

9

4

）2013．
故选D．