试题

题目:
已知,正方形DEFG内接于△ABC中,且点E、F在BC上,点D,G分别在AB,AC上.
青果学院
(1)如图①,若△ABC是直角三角形,∠A=90°,AB=4,AC=3,求正方形的边长;
(2)如图②,若S△ADG=1,S△BDE=3,S△FCG=1,求正方形的边长.
答案
解:(1)设正方形DEFG的边长是x,
∵△ABC是直角三角形,∠A=90°,AB=4,AC=3,
∴由勾股定理得:BC=5,
过A作AM⊥BC于M,交DG于N,青果学院
由三角形面积公式得:
1
2
AB×AC=
1
2
BC×AM,
∵AB=4,AC=3,BC=5,
∴AM=2.4,
∵四边形DEFG是正方形,
∴DG=GF=EF=DE=MN=x,DG∥BC,
∴△ADG∽△ABC,
DG
BC
=
AN
AM

x
5
=
2.4-x
2.4

x=
60
37

即正方形DEFG的边长是
60
37


(2)过A作AM⊥BC于M,交DG于N,
设正方形DEFG的边长是a,AN=b,
∵四边形DEFG是正方形,
∴DG=GF=EF=DE=MN=a,DG∥BC,
∵S△ADG=1,S△BDE=3,S△FCG=1,
1
2
ab=1,
1
2
BE·a=3,
1
2
CF·a=1,
∴BE=3b,CF=b,
∴S△ADG+S△BED+SCFG=
1
2
ab+
3
2
ab+
1
2
ab=1+3+1=5,
∴ab=2,
∴b=
2
a
①,
∵S正方形DEFG=S△ABC-(S△ADG+S△BDE+S△CFG
=
1
2
(BE+EF+CF)×(AN+MN)-(S△ADG+S△BDE+S△CFG
=
1
2
(a+4b)(a+b)-5=a2
∴a=2b②,
由①②得:a=2,
即正方形的边长是2.
解:(1)设正方形DEFG的边长是x,
∵△ABC是直角三角形,∠A=90°,AB=4,AC=3,
∴由勾股定理得:BC=5,
过A作AM⊥BC于M,交DG于N,青果学院
由三角形面积公式得:
1
2
AB×AC=
1
2
BC×AM,
∵AB=4,AC=3,BC=5,
∴AM=2.4,
∵四边形DEFG是正方形,
∴DG=GF=EF=DE=MN=x,DG∥BC,
∴△ADG∽△ABC,
DG
BC
=
AN
AM

x
5
=
2.4-x
2.4

x=
60
37

即正方形DEFG的边长是
60
37


(2)过A作AM⊥BC于M,交DG于N,
设正方形DEFG的边长是a,AN=b,
∵四边形DEFG是正方形,
∴DG=GF=EF=DE=MN=a,DG∥BC,
∵S△ADG=1,S△BDE=3,S△FCG=1,
1
2
ab=1,
1
2
BE·a=3,
1
2
CF·a=1,
∴BE=3b,CF=b,
∴S△ADG+S△BED+SCFG=
1
2
ab+
3
2
ab+
1
2
ab=1+3+1=5,
∴ab=2,
∴b=
2
a
①,
∵S正方形DEFG=S△ABC-(S△ADG+S△BDE+S△CFG
=
1
2
(BE+EF+CF)×(AN+MN)-(S△ADG+S△BDE+S△CFG
=
1
2
(a+4b)(a+b)-5=a2
∴a=2b②,
由①②得:a=2,
即正方形的边长是2.
考点梳理
相似三角形的判定与性质;正方形的性质.
(1)根据勾股定理求出BC,求出BC边上的高AM,根据相似三角形的性质得出方程,求出方程的解即可.
(2)过A作AM⊥BC于M,交DG于N,设正方形DEFG的边长是a,AN=b,根据三角形面积公式求出BE=3b,CF=b,ab=2,推出b=
2
a
①,根据S正方形DEFG=S△ABC-(S△ADG+S△BDE+S△CFG)求出a=2b②,由①②即可求出答案.
本题考查了相似三角形的性质和判定,三角形面积公式,正方形的性质的应用,注意:相似三角形的面积比等于相似比的平方.
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