试题
题目:
已知,正方形DEFG内接于△ABC中,且点E、F在BC上,点D,G分别在AB,AC上.
(1)如图①,若△ABC是直角三角形,∠A=90°,AB=4,AC=3,求正方形的边长;
(2)如图②,若S
△ADG
=1,S
△BDE
=3,S
△FCG
=1,求正方形的边长.
答案
解:(1)设正方形DEFG的边长是x,
∵△ABC是直角三角形,∠A=90°,AB=4,AC=3,
∴由勾股定理得:BC=5,
过A作AM⊥BC于M,交DG于N,
由三角形面积公式得:
1
2
AB×AC=
1
2
BC×AM,
∵AB=4,AC=3,BC=5,
∴AM=2.4,
∵四边形DEFG是正方形,
∴DG=GF=EF=DE=MN=x,DG∥BC,
∴△ADG∽△ABC,
∴
DG
BC
=
AN
AM
,
∴
x
5
=
2.4-x
2.4
,
x=
60
37
,
即正方形DEFG的边长是
60
37
;
(2)过A作AM⊥BC于M,交DG于N,
设正方形DEFG的边长是a,AN=b,
∵四边形DEFG是正方形,
∴DG=GF=EF=DE=MN=a,DG∥BC,
∵S
△ADG
=1,S
△BDE
=3,S
△FCG
=1,
∴
1
2
ab=1,
1
2
BE·a=3,
1
2
CF·a=1,
∴BE=3b,CF=b,
∴S
△ADG
+S
△BED
+S
CFG
=
1
2
ab+
3
2
ab+
1
2
ab=1+3+1=5,
∴ab=2,
∴b=
2
a
①,
∵S
正方形DEFG
=S
△ABC
-(S
△ADG
+S
△BDE
+S
△CFG
)
=
1
2
(BE+EF+CF)×(AN+MN)-(S
△ADG
+S
△BDE
+S
△CFG
)
=
1
2
(a+4b)(a+b)-5=a
2
,
∴a=2b②,
由①②得:a=2,
即正方形的边长是2.
解:(1)设正方形DEFG的边长是x,
∵△ABC是直角三角形,∠A=90°,AB=4,AC=3,
∴由勾股定理得:BC=5,
过A作AM⊥BC于M,交DG于N,
由三角形面积公式得:
1
2
AB×AC=
1
2
BC×AM,
∵AB=4,AC=3,BC=5,
∴AM=2.4,
∵四边形DEFG是正方形,
∴DG=GF=EF=DE=MN=x,DG∥BC,
∴△ADG∽△ABC,
∴
DG
BC
=
AN
AM
,
∴
x
5
=
2.4-x
2.4
,
x=
60
37
,
即正方形DEFG的边长是
60
37
;
(2)过A作AM⊥BC于M,交DG于N,
设正方形DEFG的边长是a,AN=b,
∵四边形DEFG是正方形,
∴DG=GF=EF=DE=MN=a,DG∥BC,
∵S
△ADG
=1,S
△BDE
=3,S
△FCG
=1,
∴
1
2
ab=1,
1
2
BE·a=3,
1
2
CF·a=1,
∴BE=3b,CF=b,
∴S
△ADG
+S
△BED
+S
CFG
=
1
2
ab+
3
2
ab+
1
2
ab=1+3+1=5,
∴ab=2,
∴b=
2
a
①,
∵S
正方形DEFG
=S
△ABC
-(S
△ADG
+S
△BDE
+S
△CFG
)
=
1
2
(BE+EF+CF)×(AN+MN)-(S
△ADG
+S
△BDE
+S
△CFG
)
=
1
2
(a+4b)(a+b)-5=a
2
,
∴a=2b②,
由①②得:a=2,
即正方形的边长是2.
考点梳理
考点
分析
点评
相似三角形的判定与性质;正方形的性质.
(1)根据勾股定理求出BC,求出BC边上的高AM,根据相似三角形的性质得出方程,求出方程的解即可.
(2)过A作AM⊥BC于M,交DG于N,设正方形DEFG的边长是a,AN=b,根据三角形面积公式求出BE=3b,CF=b,ab=2,推出b=
2
a
①,根据S
正方形DEFG
=S
△ABC
-(S
△ADG
+S
△BDE
+S
△CFG
)求出a=2b②,由①②即可求出答案.
本题考查了相似三角形的性质和判定,三角形面积公式,正方形的性质的应用,注意:相似三角形的面积比等于相似比的平方.
找相似题
(2013·自贡)如图,在平行四边形ABCD中,AB=6,AD=9,∠BAD的平分线交BC于E,交DC的延长线于F,BG⊥AE于G,BG=
4
2
,则△EFC的周长为( )
在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,分别过点B、C作经过点A的直线l的垂线BD、CE,若BD=3cm,CE=4cm,求DE的长.
如图所示,已知点E、F分别是△ABC中AC、AB边的中点,BE、CF相交于点G,FG=20,求CF的长.
如图,是一块三角形土地,它的底边BC长为100米,高AH为80米,某单位要沿着底边BC修一座底面是矩形DEFG的大楼,D、G分别在边AB、AC上,若大楼的宽是40米,求这个矩形的面积.
如图,四边形EFGH是△ABC内接正方形,BC=21cm,高AD=15cm,则内接正方形EFGH的边长是多少?